约翰纳什的石子博弈_柴靖涵yoyo
约翰纳什的石子博弈_柴靖涵yoyo
*靖涵yoyo (陕西西安)
12岁半

约翰纳什的石子博弈_柴靖涵yoyo

创建时间:12-09 浏览数:745

          这一次的作业而是约翰纳什的石子博奕,石子博弈的游戏我虽然听老师说了,但是我还想在更加了解一下,下面是我从百度搜来的资料:
      博弈论——取石子问题

分类: 算法导论/数据结构


          取石子是一种很有意思的游戏,就是有物体若干堆,可以是火柴棍或是围棋子等等均可。两个人轮流从堆中取物
体若干,规定最后取光物体者取胜。这是我国民间很古老的一个游戏,别看这游戏极其简单,却蕴含着深刻的数学原理。下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
(一)巴什博弈(Bash Game,同余理论):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
    显然,如果n=m 1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次
拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m 1)r s,(r为任意自然数,s
≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m 1-k个,结果剩下
(m 1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m 1)的倍
数,就能最后获胜。
    这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100
者胜。
      (二)威佐夫博弈(Wythoff Game,黄金分割):有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 这种情况下是颇为复杂的。我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12
,20)。
    可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak k,奇异局势有
如下三条性质:
            1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
    由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak k > ak-1 k-1 = bk-1
> ak-1 。所以性质1。成立。
            2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
    事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所
以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局
势的差,因此也是非奇异局势。
        3.采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
    假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0)
;如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak , b < bk ,则同
时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak b - ak);如果a > ak ,
b= ak k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak k,分两种情况,第一种,
a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj
即可。
    从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者
取胜。
    那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:
    ak =[k(1 √5)/2],bk= ak k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数(1 √5)/2 = 1。618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,
由于2/(1 √5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1 √5)/2],那么a = aj,bj
= aj j,若不等于,那么a = aj 1,bj 1 = aj 1 j 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按
照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。
(三)尼姆博弈(Nim      Game,异或理论):有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
    这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显
然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一
样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,
接下来都可以变为(0,n,n)的情形。
    计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号( )表示这种运算。这种运
算和一般加法不同的一点是1 1=0。先看(1,2,3)的按位模2加的结果:
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 ( )
———————
0 =二进制00 (注意不进位)
    对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。
    任何奇异局势(a,b,c)都有a( )b( )c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设 a < b< c,我们只要将 c
变为 a( )b,即可,因为有如下的运算结果: a( )b( )(a( )b)=(a( )a)( )(b( )b)=0( )
0=0。要将c 变为a( )b,只要从 c中减去 c-(a( )b)即可。
    例1。(14,21,39),14( )21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14
,21,27)。
    例2。(55,81,121),55( )81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势
(55,81,102)。
    例3。(29,45,58),29( )45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。
    例4。我们来实际进行一盘比赛看看:
         甲:(7,8,9)->(1,8,9)奇异局势
         乙:(1,8,9)->(1,8,4)
         甲:(1,8,4)->(1,5,4)奇异局势
         乙:(1,5,4)->(1,4,4)
         甲:(1,4,4)->(0,4,4)奇异局势
         乙:(0,4,4)->(0,4,2)
         甲:(0.4,2)->(0,2,2)奇异局势
         乙:(0,2,2)->(0,2,1)
         甲:(0,2,1)->(0,1,1)奇异局势
         乙:(0,1,1)->(0,1,0)
         甲:(0,1,0)->(0,0,0)奇异局势
         甲胜。
   上面就是所有的资料了,下面我们开始正式做题,根据上面的资料我们也了解到了一些信息,所以坐骑就更好做了!
        我首先做了一个大概的ppt,让大家先了解一下这些主要信息,然后再是excel,然后下来是手绘,文字。
                ppt:234307b158bb350652.jpg?6.4.01

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         上面是我做的一个PPT,模板是用手绘黑板报完成的,里面的一些装饰物是我通过百度来下载的,我做的ppt,的软件试用wps office完成的,下面是我用wps office,做的excel表格。
      excel表格:001954a853fb042236.jpg?6.4.01
           上面是我用excel做的,我放大了应该比较清晰,两次都是我赢,下面的这个是我手绘的。
     手绘图:010311fe5907486367.jpg?6.4.01      这是我画的手绘图,有些不清晰,光线太暗,请见谅!
文字:本次的作业是石子博弈,这个游戏可以让人理清思路,这个游戏我和妈妈玩了两次,因为我课上学的比较多,所以两次都赢了,下面是具体过程,就拿钻石当石子吧!
       💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎
 第一次石头剪刀布我赢了,我先拿石子,然后妈妈再拿!
     我:💎1
  妈妈:💎💎💎4
     我:💎💎6
  妈妈:💎💎💎9
      我:💎💎11
   妈妈:💎12
        第一局妈妈输了,因为妈妈一直以为拿最多的就可以赢!刚好我告诉她了应该拿第三个,第七个,我真后悔,但我随机应变赢了妈妈!
       下来是第二局,这一次用足球来代替石子!第二次石头剪刀布,一局平,二局妈妈赢,所以这次妈妈先拿石子!
⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽⚽
妈妈:⚽⚽⚽3
    我:⚽4
妈妈:⚽⚽6
    我:⚽7(哈哈我终于拿到第七个啦)
妈妈:⚽⚽9
    我:⚽⚽11(哈哈,我又赢了)
妈妈:⚽12
    第二局妈妈懂得了真正的规则,有一会儿分心,所以我又赢了,本来妈妈是赢的,我本来想试下用妈妈的重复必败战术试一下,后来在第二次尝到了甜头,但是妈妈接下来在一弄,我就害怕,然后我开始认真了,又随机应变打败了妈妈!
          下面是妈妈和我要写的东西:
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       这就是我本次的作品了!求五星,求收藏,求建议,求评价,谢谢大家,我做ppt是新手,花了两个小时才做完一个,大家再见,呜呜呜呜呜呜呜呜≥﹏≤,😖😭😰😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭